Configurations Canoniques des Doigts (CCD) vs numéros, en 6 points.

 

Les Configurations Canoniques des Doigts (CCD) sont comme les chiffres, mais elles sont beaucoup plus riches.

Ainsi, contrairement aux chiffres, les CCD sont pour ainsi dire immunisées contre toute confusion avec des numéros.

1. Les CCD ont été construites par le comptage cardinalisant explicite reliant clairement et à tout moment l’ordinal (levée successive des doigts) et le cardinal (levée simultanée, d’un seul geste, des doigts venant d’être levés successivement). Ce lien, cette fusion ou synthèse ordinal-cardinal constitue précisément le nombre.

2. Les CCD gardent à tout moment la « mémoire » de leur construction. Elles ne sont pas seulement, comme les chiffres, des représentations numériques, mais elles sont aussi et en même temps des représentations analogiques, des collections témoins du comptage : dans la CCD de 8, par exemple, les 8 doigts témoins de 8 gestes restent présents, bien que levés d’un seul geste. Ainsi la CCD de 8 désigne automatiquement la pluralité, alors que le numéro ne caractérise qu’un seul élément.  

3. Les CCD sont les éléments de la calculatrice-doigts dont un des rôles essentiels est d’effectuer les calculs de la manière la plus fiable, la plus rapide, la plus économique possible. Les CCD sont inutiles si elles ne remplissent pas ce rôle auquel il faut ajouter celui de la modélisation. C’est en remplissant ces rôles que les CCD se consolident en même temps qu’elles s’assouplissent pour s’adapter à toutes les situations. Par contre, les numéros ne permettent ni les modélisations ni les calculs.

4. À partir de la petite base (5) les CCD sont visiblement décomposées : 5(une main) et 1 pour la CCD de 6, 5 et 2 pour la CCD de 7, etc.  La « petite base », 5 doigts ou 1 main,  joue un rôle primordial dans ma méthode, tout comme elle a joué un rôle essentiel dans différentes sociétés archaïques.   

Quand on part de la maison de 7 qu’on retrouve dans différents manuels scolaires sous la forme abstraite reprise ci-dessous, aucune décomposition n’est privilégiée. L’enfant n’a aucune image prégnante de 7. En ce sens « 5 et 2 » n’est pas une décomposition ordinaire de 7. C’est une  décomposition privilégiée. On peut alors montrer sans peine que cette CCD de 7 peut se décomposer en 4 et 3 ou 6 et 1,…  

Les calculs où 5 intervient sont les plus faciles : 5 + 4 donne la CCD de 9, 5 + 8 = 5 + 5|3 (CCD de 8) ; 5 + 5 = les deux mains (CCD de 10)… 12 -5 = 5|5|2 - 5 = 5|2, la CCD de 7,etc. Il est donc conseillé de commencer par des modélisations et des calculs où le 5 intervient afin que l’enfant s’habitue à « jouer » avec ses doigts.

5. Raison d'être de la décomposition privilégiée. Il est beaucoup plus difficile de traiter (lire, montrer, lever, baisser,…) d’un seul coup et sans la moindre hésitation 4 et 3 ou 6 et 1. Les CCD doivent pouvoir être traitées d’un seul coup tout en restant parfaitement décomposables, sans quoi elles ne fonctionneraient guère et ne faciliteraient pas les calculs. Une CCD qui ne fonctionne pas efficacement n’est plus une CCD. Selon les besoins concrets, la CCD de 7 (5 et 2) doit pouvoir être décomposée en 4 et 3, 6 et 1, etc., mais 6 et 1 ne sera, par définition (qualité d’une norme dominante) jamais la CCD de 7.

Il est inutile et nuisible de déstabiliser l’enfant de peur qu’il puisse finir non pas par prendre 7 pour un numéro, mais par croire que 7 ne peut être que 5 et 2, forme aussi rigide qu’un numéro. Les nombreux problèmes à résoudre obligent l’enfant à décomposer les CCD dont un des rôles principaux est précisément de faciliter le calcul au lieu du comptage.

6. Rappelons enfin qu’aucune image statique ou même animée de l’extérieur ne peut traduire de manière satisfaisante les CCD vu que les aspects vécus, moteurs (lever, baisser,… les doigts), sensori-moteurs et proprioceptifs sont essentiels.  Rappelons aussi les liens intimes entre les doigts et les nombres. Ces liens ont été vécus durant des millénaires, exploités par quelques grands pédagogues, dégagés par certains mathématiciens de renom et, enfin, confirmés plus récemment par des études neuroscientifiques, notamment par l’imagerie cérébrale. 

Tous ces aspects cruciaux sont absents des numéros.

Comptage-numérotage

 

S’agit-il, ci-dessus, de chiffres exprimant de simples numéros ou désignant des nombres ?

👉Voici comment Brissiaud décrit le comptage-numérotage auquel il ne cesse de faire la chasse, comme d’autres spécialistes et moi-même :

           

👉👉Mais tout n’est pas toujours aussi explicite. Loin de là !

1. Le comptage-numérotage est favorisé par nos pratiques sociales. Quand on compte, on ne fait jamais explicitement allusion à l’aspect ordinal (1^er, 2^e, 3^e, … ; premier, deuxième, troisième, …). Cela est probablement dû, entre autres, au fait qu’on ne calcule qu’avec l’aspect cardinal (1, 2, 3,… ; un,  deux, trois…).

2. Je ne connais pas de comptine numérique qui fasse allusion à l’aspect ordinal  - ce qui serait pourtant très facile à faire. Seul l’aspect cardinal y figure ! 

3. De nombreux jeux « mathématiques » favorisent la réduction des nombres à des numéros.

4. Même la file numérique, si fréquente dans nos écoles, peut favoriser le numéro aux dépens du nombre ! Combien de fois n’a t on pas entendu des enseignants demander à un élève de montrer 5, par exemple, sur la file numérique. L’enfant montre alors LE 5 et l’enseignant le félicite. Alors que pour montrer 5 (et non pas LE 5) l’enfant aurait dû montrer toute la distance de 1 à 5. Ceci est d’autant plus difficile que les chiffres sont bien séparés comme dans notre dessin.

5. Un emploi prématuré de la calculatrice électronique s’avère d’autant plus piégeant que le résultat est accepté comme correct, peu importe la valeur que l’enfant accorde au chiffre de chaque touche : qu’il soit un numéro ou qu’il désigne un nombre, cela n’a aucun impact sur le résultat final.

La calculatrice ne demande aucune compréhension et son emploi prématuré peut donc renforcer les mécompréhensions.

👉Alors, l’enfant entendant ou disant 3 pense-il au nombre 3 désignant une pluralité ou à une sorte de numéro caractérisant un objet unique ? 

Présentons 5 jetons à un enfant qui sait « compter » jusqu’à 5 et demandons lui : « Combien de jetons y a-t-il ? ».

Il « compte » très bien jusqu’à 5 et s’arrête sans donner la réponse que nous attendons.

« Alors  combien de jetons y a-t-il ? » Réponse : il « re-compte ». Ce n’est en fait qu’un comptage-numérotage faisant correspondre un mot-nombre à un objet.

Le 5 final ne désigne pas une pluralité et ne permet pas de répondre à la question du combien.

Cependant si l’adulte répond « TB, il y a bien 5 jetons » ou qu’il insiste en disant à l’enfant qu’il n’a pas besoin de recompter, ce dernier apprend vite à répéter le dernier mot du comptage sans comprendre. Ainsi, le piège peut se refermer comme nous le détaillons dans notre analyse des pièges.

👉Contrairement au nombre, le numéro ne désigne pas une pluralité : le n° 8, qu’on le trouve sur une maison, sur un maillot ou ailleurs, ne désigne jamais la pluralité, notamment 8 maisons, 8 maillots…

Le numéro ne permet aucune décomposition : la maison n° 8 n’est pas la somme des maisons n°5 et n° 3… ni le produit du  n° 2 et du n° 4,... 

Dès que le numéro usurpe la place du nombre, tout se bloque. D’où l’empêtrement dans une sorte de comptage un par un. Comptage qui peut donner de bons résultats tant qu’on reste dans les tout petits nombres. Chaque « réussite », si on peut vraiment parler de réussite, renforce ce comptage un par un.

Tout s’écroule dès qu’on aborde les nombres d’une certaine grandeur, pouvant varier un peu d’un enfant à l’autre. Dans mon initiation aux mathématiques, je cite le cas de Sarah, fille qui débute la 3^e primaire (CE2). Cette fille ne sait résoudre 27 + 48 que par le comptage un par un ! Tâche titanesque, vouée à l’échec d’autant plus que Sarah commence son comptage à partir de 27 et non pas de 48.

Comme d’autres enfants, Sarah se sert des doigts pour ce comptage. Ce très mauvais usage des doigts a certainement contribué à discréditer leur usage en mathématiques. 

👉👉Je n’insisterais pas autant sur la différence entre numéro et nombre, si elle ne nous faisait pas comprendre pourquoi certains enfants peuvent être complètement bloqués et finir par être traités de dyscalculiques.

Construction concrète et explicite du nombre.

 

Au vu des données préalables, nous pouvons effectuer une construction simultanée des Configurations Canoniques des Doigts (CCD), éléments de base de la calculatrice-doigts, et des nombres.

Concrètement : l’intervenant demande à l’enfant de lever un doigt (le pouce de la main gauche) en disant un premier 1. Puis, il lève un deuxième doigt (l’index ; deuxième geste) en disant « et un deuxième (ordinal) 1 » ; puis, regardant ostensiblement l’ensemble des doigts levés d’un seul coup, d’un seul geste (simultanément), il dit « 2 en tout » (cardinal) : c’est la CCD de 2.

Puis il lève un troisième doigt (le majeur ; troisième geste) en disant « et un troisième (ordinal) 1 » ; puis, regardant ostensiblement l’ensemble des doigts levés d’un seul coup, d’un seul geste (simultanément),  il dit « 3 en tout » (cardinal) : c’est la CCD de 3. On continue ainsi au moins jusqu’à 5.

Le 5^e  doigt n’est pas 5 mais 1 ! 

Il y a itération de l’unité : deux est un et un, cinq est quatre et un…

La CCD de 5 se base sur le 5^e élément du comptage (ordinal)  tout en désignant d’un seul coup, d'un seul geste, simultanément, la pluralité des 5 éléments (cardinal) ayant été comptés par cinq gestes successifs (ordinal).

Le comptage cardinalisant est très différent du comptage-numérotage qui est dénoncé, à juste titre, par beaucoup de spécialistes et qui constitue un des pièges les plus redoutables. Dès que le numéro, bloc indécomposable, usurpe la place du nombre, tout se bloque. La maison n° 18 ne désigne pas 18 maisons, elle n’est pas la somme du n° 10 et du n° 8, etc.

Le comptage, quelle qu’en soit la qualité, n’est appliqué que très peu de temps aux doigts : les CCD (Configurations Canoniques des Doigts) se consolideront au cours de leur fonctionnement lors des modélisations et des calculs nécessaires à la résolution de problèmes.

Rappelons que la construction du nombre et de la calculatrice puise son sens dans la résolution de problèmes.

On prolonge, aussi longtemps que nécessaire, le comptage cardinalisant explicite au niveau du comptage des objets.

Le nombre, défini comme étant la synthèse entre l’ordinal et le cardinal, se construit ainsi progressivement. Aucun des deux éléments de la synthèse n’est construit séparément dans l’espoir de pouvoir les unifier ultérieurement.

Piaget qui a eu et garde souvent une influence considérable sur l’enseignement, définit le nombre à sa manière  comme la « synthèse opératoire de la classification et de la sériation » ou encore comme « la fusion de la classe et de la relation asymétrique ». Pour notre propos, nous pouvons établir une sorte d’équivalence avec le vocabulaire des mathématiciens : synthèse entre l’ordinal (sériation, relation asymétrique) et le cardinal (classe, classification). L’essentiel pour nous est que dans la pratique beaucoup d’intervenants interprètent encore aujourd’hui Piaget en considérant la sériation et la classification comme deux structures à part qu’il suffit d’entraîner séparément pour qu’en résulte, on ne sait par quel miracle, leur synthèse donnant naissance au nombre.

Même la Fondation Jean Piaget se montre bien plus nuancée et aussi plus claire sur son site : « Que le nombre soit synthèse des opérations de classification et de sériation ne signifie pas pour autant qu’il apparaisse après leur construction. » En d’autres termes, les structures logiques ne sont pas des prérequis, elles s’établissent en même temps qu’est construit le nombre. C’est essentiel. Cela explique aussi, en partie, pourquoi notre méthode réussit là où d’autres échouent tout en cachant leur débâcle derrière une prétendue dyscalculie irrémédiable.  

Préalables à la construction du nombre.

 

Le nombre est une idée abstraite.

Comment construire concrètement une idée abstraite ? Comment aider l’enfant à y parvenir sans trop de difficultés ?

Pour tout chantier de construction des règles doivent être respectées pour éviter tout accident.

Il faut d’abord définir le nombre.

Le nombre est communément conçu comme la synthèse entre l’aspect ordinal (premier, deuxième, troisième,…) et l’aspect cardinal (un, deux, trois,…).

Pour construire le nombre, opérerons donc DÈS LE DÉBUT la synthèse explicite ordinal-cardinal en utilisant les doigts particulièrement adaptés à cet effet.

« Veut-on indiquer qu’une collection comporte trois, quatre, sept ou même dix éléments ? On lève ou on replie  simultanément trois, quatre, sept ou dix doigts, et l’on use de ceux-ci comme d’un modèle cardinal. Veut-on compter ces mêmes éléments ? On lève successivement trois, quatre, sept ou dix doigts, et l’on s’en sert alors comme d’un système ordinal. » (Georges Ifrah, dans sa célèbre Histoire universelle des chiffres. L’intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul)

Les liens entre DOIGTS, comptage, successivement et ordinal ainsi qu’entre DOIGTS, simultanément, cardinal et calcul (seul le cardinal intervient dans le calcul) sont à la base de ma méthode et en expliquent l’« efficacité époustouflante » évoquée par ceux et celles qui l’appliquent.

Je parle de « comptage cardinalisant » pour souligner le lien direct devant exister entre l’ordinal (comptage) et le cardinal. Beaucoup d’experts parlent de dénombrement. Mais ce terme ne fait pas allusion explicitement au lien entre l’ordinal et le cardinal.

En outre, tout dénombrement n’est pas un comptage. « Le dénombrement est la détermination du nombre d’éléments d’un ensemble. Il s’obtient en général par un comptage ou par un calcul de son cardinal. » (Wikipedia)

Les Configurations Canoniques des Doigts (CCD) ne sont pas des nombres mais elles les désignent comme les chiffres, tout en étant bien plus riches que ces derniers.

Les chiffres sont concrets. Ils désignent les nombres. Mais, il n’y a aucune analogie entre le chiffre 8, par exemple, et la quantité de 8 objets désignée par le nombre 8 ! Ainsi le chiffre ne conserve aucune trace tangible du comptage et de l’ordinal. Alors que la CCD garde cette trace : elle est à la fois une représentation numérique ET analogique.

Les CCD fournissent, en vertu de leur caractère analogique, des images mentales solides des nombres, des repères indispensables pour les modélisations et les calculs, des ancrages faciles à intérioriser.   

Construction sous contraintes de la calculatrice-doigts.

 

Disons d’emblée que cette construction ne peut jamais se faire dans l’abstrait, en dehors de tout contexte de résolution de problèmes ! Ce n’est que dans la mesure où les quantités augmentent que se fait jour la nécessité de perfectionner la calculatrice-doigts.

Nous ne construisons pas la calculatrice électronique. Nous l’achetons toute faite et nous y trouvons des chiffres destinés à désigner des nombres.

Nous devons, par contre, construire la calculatrice-doigts, les Configurations Canoniques des Doigts (CCD) et les nombres.

Cette construction s’enracine dans un comptage ordonné. Elle répond à une norme dominante résultant de contraintes anatomiques et culturelles. D’où l’adjectif « canonique ».

• Exemple de contrainte culturelle : pour compter, nous levons les doigts, d’autres les baissent.
• Exemple de contrainte anatomique, assurant une certaine universalité : on compte partout en respectant l’adjacence.

Les CCD sont donc toujours constituées de doigts adjacents et, dans notre culture, de doigts adjacents levés.

Ceux qui baissent les doigts (contrainte culturelle) ne les baissent jamais en arrière, ce qui est anatomiquement impossible (contrainte anatomique).

La norme dominante se justifie :  

1. Il est en effet capital de traiter (lever, baisser, lire, montrer,…) d’un seul coup, et sans la moindre hésitation, tous les doigts qui forment une CCD (simultanéité, aspect cardinal : un seul geste).

Aucun peuple de la terre n’a compté jusqu’à 3 en levant d’abord le médian de la main gauche, puis l’index de la main droite et enfin l’annulaire de la main droite !

La CCD de 3 ne peut donc jamais être formée ainsi. Essayer de lever d’un seul coup, sans hésitation et sans compter, ces 3 doigts !  Et comment utiliser efficacement cette configuration peu pratique dans les modélisations et dans les calculs ?

2. L’ordre stable du comptage que je choisis est de loin le plus fréquent dans nos sociétés. Le respect de cette contrainte culturelle permet une meilleure communication entre individus d’un même milieu culturel.

Parmi les centaines d’élèves que j’ai eu la chance de pouvoir aider, j’ai toujours relevé ou pu favoriser les mêmes CCD – celles dont les images statiques souvent stylisées sont reprises, sous diverses dénominations, dans les travaux d’auteurs partageant notre culture.

Nous trouvons, par exemple, chez Baruk (PUF, 2016) les « nombres en barres/doigts » suivants :

Les CCD doivent toujours être traitées (levées, prises, lues, …) d’un seul coup : 1 =  pouce de la main gauche ; 2 =  pouce et index ; 3 = pouce, index et majeur ; 4 =  pouce, index, majeur et annulaire ; 5 = toute la main gauche (MG) 

Après 5 on tourne le dos des mains vers soi de manière que les deux pouces deviennent adjacents. 6 = MG et pouce de la main droite (MD) ; 7 = MG, pouce et index MD ; 8 =  MG, pouce, index et majeur MD ; 9 = MG, pouce, index, majeur et annulaire MD. Pour 10, les deux mains.

👉👉Cependant, si bonne soit-elle, aucune image statique ou même animée de l’extérieur ne peut traduire de manière satisfaisante les CCD vu que les aspects vécus, moteurs (lever, baisser,… les doigts), sensori- moteurs et proprioceptifs sont essentiels.

Les CCD correspondent aux chiffres, bien qu’elles soient beaucoup plus riches. Les CCD ne sont pas les nombres qui, eux, sont des idées, des concepts. Mais, nous allons voir que la mise au point des CCD coïncide avec la construction du nombre.

Problèmes les plus élémentaires.

 

Nous avons vu que le sens des mathématiques s’enracine dans la résolution de problèmes.

👉Voici, à présent, un des problèmes les plus élémentaires qu’on puisse présenter aux enfants.

1) Mettre un bonbon dans une boîte, puis en ajouter un et fermer immédiatement la boîte. Problème : combien de bonbons y a-t-il en tout dans la boîte ?

2) Si l’enfant ne connaît pas déjà le résultat, il ne peut pas le deviner. Il doit le calculer pour être absolument sûr.

À cet effet il se détache du problème (abstraction) en le modélisant avec ses doigts (la calculatrice-doigts) ; il lève un doigt, le pouce de la main gauche. Puis il ajoute un deuxième doigt (l’index de la main gauche). Il regarde alors l’ensemble des doigts qu’il lève d’un seul coup : deux en tout (sans compter). Donc il y a deux bonbons dans la boîte.

3) Avant d’avoir pleinement confiance dans la calculatrice-doigts, l’enfant adore vérifier. Il se rue sur la boîte, l’ouvre et compte rapidement (autoévaluation par le comptage-vérification). 

👉Cet exemple ultrasimple appelle différentes remarques :

1) Le « squelette » qui supporte ce problème peut être habillé d’une infinité de manières, selon les intérêts des enfants. S’ils viennent d’admirer un écureuil, il peut s’agir d’un écureuil qui cache ses noisettes, … L’essentiel est que la procédure reste généralisable peu importent la nature des objets, leur quantité, les narratifs, etc.

2) La boîte peut être remplacée par toute autre cache, assez neutre (monochrome,…) afin de ne pas distraire l’enfant. L’essentiel est que l’enfant ne voie pas tout et soit « forcé » de sortir du concret ! Sans quoi, il serait privé dès le début de ce qu’un enfant appelait « la magie des mathématiques » qui consiste à pouvoir savoir avec certitude, sans voir ! Au lieu de faire peur, l’abstraction peut fasciner !

3) Le résultat ne peut jamais être deviné. Si l’enfant sait avec certitude qu’il y a deux objets cachés, on augmente les quantités d’objets en jeu.

4) Seule la calculatrice-doigts reste un repère stable, solide et fiable. Cela va en favoriser l’intériorisation.

👉Nous allons voir dans l’article suivant comment achever la construction de la calculatrice-doigts.

À l’origine des mathématiques et de leur apprentissage : la résolution de problèmes.

 

Les hommes n’auraient jamais développé les mathématiques sans problèmes à résoudre !

Pense-t-on alors vraiment que l’enfant puisse s’en passer pour entrer en mathématiques ?

La résolution de problèmes, et donc l’utilité, a été et reste la source principale, voire unique, du sens des mathématiques.

👉Pour que le sens ne cesse jamais d’animer la démarche mathématique, il faut un continuel va-et-vient entre le concret et l’abstrait. Une rupture entre les deux engendrerait un concret opaque et un abstrait éthéré, tous deux dépourvus de sens.

J’ai vécu des dizaines de fois ce que Baruk décrit en ces termes : « Il manipule un mois, il manipule deux mois, il manipule trois mois… Six mois plus tard, il manipule toujours. C’est désolant parce qu’il n’a toujours “pas idée du nombre”. »

Bref, l’enfant à qui on impose des activités dont le sens lui échappe risque de céder à la stéréotypie et de s’enfoncer dans un concret toujours plus opaque. Ce dernier n’a rien à voir avec une démarche mathématique.

À l’autre extrême : étudier par cœur des comptines numériques ou des formules abstraites, suivre aveuglément des techniques, des trucs et astuces, tout cela élimine également tout sens. Je pourrais citer des centaines d’absurdités que les élèves m’ont ainsi apprises ! 

Est-il alors exagéré d’affirmer, comme le font certains, que pour trop d’enfants l’entrée en mathématiques, c’est l’entrée en « Absurdie » ? 

👉Les maths doivent donc s’ancrer dans la résolution de problèmes concrets et « adéquats », susceptibles d’être modélisés mathématiquement :

- l’enfant doit pouvoir comprendre le problème, s’y intéresser et  le faire sien au point de chercher à le résoudre sans qu’on doive l’y pousser ou contraindre. La contrainte engendrerait un problème d’un autre ordre.

- la solution du problème doit être cachée aux yeux de l’enfant, sans quoi ce ne serait plus un problème pour lui.

 - pour résoudre le problème, l’enfant doit apprendre à le modéliser (sorte d’abstraction). Cette modélisation peut s’effectuer  en se servant de ses doigts qui constitueront sa calculatrice.

- la solution « abstraite » du problème doit être vérifiable dans le concret par l’enfant lui-même (ouverture de la cache et comptage-vérification). Cette procédure n’est-elle pas meilleure que l’argument d’autorité ?

👉Il y a bien moyen de confronter l’enfant dès son plus jeune âge à des problèmes qui le fascinent. Nous le verrons sous l’onglet « problèmes les plus élémentaires »