Comptage-numérotage

 

S’agit-il, ci-dessus, de chiffres exprimant de simples numéros ou désignant des nombres ?

👉Voici comment Brissiaud décrit le comptage-numérotage auquel il ne cesse de faire la chasse, comme d’autres spécialistes et moi-même :

           

👉👉Mais tout n’est pas toujours aussi explicite. Loin de là !

1. Le comptage-numérotage est favorisé par nos pratiques sociales. Quand on compte, on ne fait jamais explicitement allusion à l’aspect ordinal (1^er, 2^e, 3^e, … ; premier, deuxième, troisième, …). Cela est probablement dû, entre autres, au fait qu’on ne calcule qu’avec l’aspect cardinal (1, 2, 3,… ; un,  deux, trois…).

2. Je ne connais pas de comptine numérique qui fasse allusion à l’aspect ordinal  - ce qui serait pourtant très facile à faire. Seul l’aspect cardinal y figure ! 

3. De nombreux jeux « mathématiques » favorisent la réduction des nombres à des numéros.

4. Même la file numérique, si fréquente dans nos écoles, peut favoriser le numéro aux dépens du nombre ! Combien de fois n’a t on pas entendu des enseignants demander à un élève de montrer 5, par exemple, sur la file numérique. L’enfant montre alors LE 5 et l’enseignant le félicite. Alors que pour montrer 5 (et non pas LE 5) l’enfant aurait dû montrer toute la distance de 1 à 5. Ceci est d’autant plus difficile que les chiffres sont bien séparés comme dans notre dessin.

5. Un emploi prématuré de la calculatrice électronique s’avère d’autant plus piégeant que le résultat est accepté comme correct, peu importe la valeur que l’enfant accorde au chiffre de chaque touche : qu’il soit un numéro ou qu’il désigne un nombre, cela n’a aucun impact sur le résultat final.

La calculatrice ne demande aucune compréhension et son emploi prématuré peut donc renforcer les mécompréhensions.

👉Alors, l’enfant entendant ou disant 3 pense-il au nombre 3 désignant une pluralité ou à une sorte de numéro caractérisant un objet unique ? 

Présentons 5 jetons à un enfant qui sait « compter » jusqu’à 5 et demandons lui : « Combien de jetons y a-t-il ? ».

Il « compte » très bien jusqu’à 5 et s’arrête sans donner la réponse que nous attendons.

« Alors  combien de jetons y a-t-il ? » Réponse : il « re-compte ». Ce n’est en fait qu’un comptage-numérotage faisant correspondre un mot-nombre à un objet.

Le 5 final ne désigne pas une pluralité et ne permet pas de répondre à la question du combien.

Cependant si l’adulte répond « TB, il y a bien 5 jetons » ou qu’il insiste en disant à l’enfant qu’il n’a pas besoin de recompter, ce dernier apprend vite à répéter le dernier mot du comptage sans comprendre. Ainsi, le piège peut se refermer comme nous le détaillons dans notre analyse des pièges.

👉Contrairement au nombre, le numéro ne désigne pas une pluralité : le n° 8, qu’on le trouve sur une maison, sur un maillot ou ailleurs, ne désigne jamais la pluralité, notamment 8 maisons, 8 maillots…

Le numéro ne permet aucune décomposition : la maison n° 8 n’est pas la somme des maisons n°5 et n° 3… ni le produit du  n° 2 et du n° 4,... 

Dès que le numéro usurpe la place du nombre, tout se bloque. D’où l’empêtrement dans une sorte de comptage un par un. Comptage qui peut donner de bons résultats tant qu’on reste dans les tout petits nombres. Chaque « réussite », si on peut vraiment parler de réussite, renforce ce comptage un par un.

Tout s’écroule dès qu’on aborde les nombres d’une certaine grandeur, pouvant varier un peu d’un enfant à l’autre. Dans mon initiation aux mathématiques, je cite le cas de Sarah, fille qui débute la 3^e primaire (CE2). Cette fille ne sait résoudre 27 + 48 que par le comptage un par un ! Tâche titanesque, vouée à l’échec d’autant plus que Sarah commence son comptage à partir de 27 et non pas de 48.

Comme d’autres enfants, Sarah se sert des doigts pour ce comptage. Ce très mauvais usage des doigts a certainement contribué à discréditer leur usage en mathématiques. 

👉👉Je n’insisterais pas autant sur la différence entre numéro et nombre, si elle ne nous faisait pas comprendre pourquoi certains enfants peuvent être complètement bloqués et finir par être traités de dyscalculiques.

Construction concrète et explicite du nombre.

 

Au vu des données préalables, nous pouvons effectuer une construction simultanée des Configurations Canoniques des Doigts (CCD), éléments de base de la calculatrice-doigts, et des nombres.

Concrètement : l’intervenant demande à l’enfant de lever un doigt (le pouce de la main gauche) en disant un premier 1. Puis, il lève un deuxième doigt (l’index ; deuxième geste) en disant « et un deuxième (ordinal) 1 » ; puis, regardant ostensiblement l’ensemble des doigts levés d’un seul coup, d’un seul geste (simultanément), il dit « 2 en tout » (cardinal) : c’est la CCD de 2.

Puis il lève un troisième doigt (le majeur ; troisième geste) en disant « et un troisième (ordinal) 1 » ; puis, regardant ostensiblement l’ensemble des doigts levés d’un seul coup, d’un seul geste (simultanément),  il dit « 3 en tout » (cardinal) : c’est la CCD de 3. On continue ainsi au moins jusqu’à 5.

Le 5^e  doigt n’est pas 5 mais 1 ! 

Il y a itération de l’unité : deux est un et un, cinq est quatre et un…

La CCD de 5 se base sur le 5^e élément du comptage (ordinal)  tout en désignant d’un seul coup, d'un seul geste, simultanément, la pluralité des 5 éléments (cardinal) ayant été comptés par cinq gestes successifs (ordinal).

Le comptage cardinalisant est très différent du comptage-numérotage qui est dénoncé, à juste titre, par beaucoup de spécialistes et qui constitue un des pièges les plus redoutables. Dès que le numéro, bloc indécomposable, usurpe la place du nombre, tout se bloque. La maison n° 18 ne désigne pas 18 maisons, elle n’est pas la somme du n° 10 et du n° 8, etc.

Le comptage, quelle qu’en soit la qualité, n’est appliqué que très peu de temps aux doigts : les CCD (Configurations Canoniques des Doigts) se consolideront au cours de leur fonctionnement lors des modélisations et des calculs nécessaires à la résolution de problèmes.

Rappelons que la construction du nombre et de la calculatrice puise son sens dans la résolution de problèmes.

On prolonge, aussi longtemps que nécessaire, le comptage cardinalisant explicite au niveau du comptage des objets.

Le nombre, défini comme étant la synthèse entre l’ordinal et le cardinal, se construit ainsi progressivement. Aucun des deux éléments de la synthèse n’est construit séparément dans l’espoir de pouvoir les unifier ultérieurement.

Piaget qui a eu et garde souvent une influence considérable sur l’enseignement, définit le nombre à sa manière  comme la « synthèse opératoire de la classification et de la sériation » ou encore comme « la fusion de la classe et de la relation asymétrique ». Pour notre propos, nous pouvons établir une sorte d’équivalence avec le vocabulaire des mathématiciens : synthèse entre l’ordinal (sériation, relation asymétrique) et le cardinal (classe, classification). L’essentiel pour nous est que dans la pratique beaucoup d’intervenants interprètent encore aujourd’hui Piaget en considérant la sériation et la classification comme deux structures à part qu’il suffit d’entraîner séparément pour qu’en résulte, on ne sait par quel miracle, leur synthèse donnant naissance au nombre.

Même la Fondation Jean Piaget se montre bien plus nuancée et aussi plus claire sur son site : « Que le nombre soit synthèse des opérations de classification et de sériation ne signifie pas pour autant qu’il apparaisse après leur construction. » En d’autres termes, les structures logiques ne sont pas des prérequis, elles s’établissent en même temps qu’est construit le nombre. C’est essentiel. Cela explique aussi, en partie, pourquoi notre méthode réussit là où d’autres échouent tout en cachant leur débâcle derrière une prétendue dyscalculie irrémédiable.  

Préalables à la construction du nombre.

 

Le nombre est une idée abstraite.

Comment construire concrètement une idée abstraite ? Comment aider l’enfant à y parvenir sans trop de difficultés ?

Pour tout chantier de construction des règles doivent être respectées pour éviter tout accident.

Il faut d’abord définir le nombre.

Le nombre est communément conçu comme la synthèse entre l’aspect ordinal (premier, deuxième, troisième,…) et l’aspect cardinal (un, deux, trois,…).

Pour construire le nombre, opérerons donc DÈS LE DÉBUT la synthèse explicite ordinal-cardinal en utilisant les doigts particulièrement adaptés à cet effet.

« Veut-on indiquer qu’une collection comporte trois, quatre, sept ou même dix éléments ? On lève ou on replie  simultanément trois, quatre, sept ou dix doigts, et l’on use de ceux-ci comme d’un modèle cardinal. Veut-on compter ces mêmes éléments ? On lève successivement trois, quatre, sept ou dix doigts, et l’on s’en sert alors comme d’un système ordinal. » (Georges Ifrah, dans sa célèbre Histoire universelle des chiffres. L’intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul)

Les liens entre DOIGTS, comptage, successivement et ordinal ainsi qu’entre DOIGTS, simultanément, cardinal et calcul (seul le cardinal intervient dans le calcul) sont à la base de ma méthode et en expliquent l’« efficacité époustouflante » évoquée par ceux et celles qui l’appliquent.

Je parle de « comptage cardinalisant » pour souligner le lien direct devant exister entre l’ordinal (comptage) et le cardinal. Beaucoup d’experts parlent de dénombrement. Mais ce terme ne fait pas allusion explicitement au lien entre l’ordinal et le cardinal.

En outre, tout dénombrement n’est pas un comptage. « Le dénombrement est la détermination du nombre d’éléments d’un ensemble. Il s’obtient en général par un comptage ou par un calcul de son cardinal. » (Wikipedia)

Les Configurations Canoniques des Doigts (CCD) ne sont pas des nombres mais elles les désignent comme les chiffres, tout en étant bien plus riches que ces derniers.

Les chiffres sont concrets. Ils désignent les nombres. Mais, il n’y a aucune analogie entre le chiffre 8, par exemple, et la quantité de 8 objets désignée par le nombre 8 ! Ainsi le chiffre ne conserve aucune trace tangible du comptage et de l’ordinal. Alors que la CCD garde cette trace : elle est à la fois une représentation numérique ET analogique.

Les CCD fournissent, en vertu de leur caractère analogique, des images mentales solides des nombres, des repères indispensables pour les modélisations et les calculs, des ancrages faciles à intérioriser.